Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3simpa |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ) |
2 |
|
rehalfcl |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 𝐶 / 2 ) ∈ ℝ ) |
3 |
2 2
|
jca |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( ( 𝐶 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 / 2 ) ∈ ℝ ) ) |
4 |
3
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 / 2 ) ∈ ℝ ) ) |
5 |
|
lt2add |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝐶 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 / 2 ) ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 < ( 𝐶 / 2 ) ∧ 𝐵 < ( 𝐶 / 2 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( ( 𝐶 / 2 ) + ( 𝐶 / 2 ) ) ) ) |
6 |
1 4 5
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 < ( 𝐶 / 2 ) ∧ 𝐵 < ( 𝐶 / 2 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( ( 𝐶 / 2 ) + ( 𝐶 / 2 ) ) ) ) |
7 |
|
recn |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ ) |
8 |
|
2halves |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℂ → ( ( 𝐶 / 2 ) + ( 𝐶 / 2 ) ) = 𝐶 ) |
9 |
7 8
|
syl |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( ( 𝐶 / 2 ) + ( 𝐶 / 2 ) ) = 𝐶 ) |
10 |
9
|
breq2d |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( ( 𝐶 / 2 ) + ( 𝐶 / 2 ) ) ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < 𝐶 ) ) |
11 |
10
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( ( 𝐶 / 2 ) + ( 𝐶 / 2 ) ) ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < 𝐶 ) ) |
12 |
6 11
|
sylibd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 < ( 𝐶 / 2 ) ∧ 𝐵 < ( 𝐶 / 2 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < 𝐶 ) ) |