Theorem marrepeval

Description: An entry of a matrix with a replaced row. (Contributed by AV, 12-Feb-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	marrepfval.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
	marrepfval.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
	marrepfval.q	⊢ 𝑄 = ( 𝑁 matRRep 𝑅 )
	marrepfval.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
Assertion	marrepeval	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝐾 ( 𝑀 𝑄 𝑆 ) 𝐿 ) 𝐽 ) = if ( 𝐼 = 𝐾 , if ( 𝐽 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marrepfval.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
2		marrepfval.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
3		marrepfval.q	⊢ 𝑄 = ( 𝑁 matRRep 𝑅 )
4		marrepfval.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
5	1 2 3 4	marrepval	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 ( 𝑀 𝑄 𝑆 ) 𝐿 ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) )
6	5	3adant3	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐾 ( 𝑀 𝑄 𝑆 ) 𝐿 ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) )
7		simp3l	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝐼 ∈ 𝑁 )
8		simpl3r	⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 = 𝐼 ) → 𝐽 ∈ 𝑁 )
9	4	fvexi	⊢ 0 ∈ V
10		ifexg	⊢ ( ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 0 ∈ V ) → if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) ∈ V )
11	9 10	mpan2	⊢ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) → if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) ∈ V )
12		ovexd	⊢ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) → ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ∈ V )
13	11 12	ifcld	⊢ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ∈ V )
14	13	adantl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ∈ V )
15	14	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ∈ V )
16	15	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽 ) ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ∈ V )
17		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝐼 → ( 𝑖 = 𝐾 ↔ 𝐼 = 𝐾 ) )
18	17	adantr	⊢ ( ( 𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽 ) → ( 𝑖 = 𝐾 ↔ 𝐼 = 𝐾 ) )
19		eqeq1	⊢ ( 𝑗 = 𝐽 → ( 𝑗 = 𝐿 ↔ 𝐽 = 𝐿 ) )
20	19	ifbid	⊢ ( 𝑗 = 𝐽 → if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) = if ( 𝐽 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) )
21	20	adantl	⊢ ( ( 𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽 ) → if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) = if ( 𝐽 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) )
22		oveq12	⊢ ( ( 𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽 ) → ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) = ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) )
23	18 21 22	ifbieq12d	⊢ ( ( 𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽 ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) = if ( 𝐼 = 𝐾 , if ( 𝐽 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) )
24	23	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽 ) ) → if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) = if ( 𝐼 = 𝐾 , if ( 𝐽 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) )
25	7 8 16 24	ovmpodv2	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 ( 𝑀 𝑄 𝑆 ) 𝐿 ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) → ( 𝐼 ( 𝐾 ( 𝑀 𝑄 𝑆 ) 𝐿 ) 𝐽 ) = if ( 𝐼 = 𝐾 , if ( 𝐽 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) ) )
26	6 25	mpd	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝐾 ( 𝑀 𝑄 𝑆 ) 𝐿 ) 𝐽 ) = if ( 𝐼 = 𝐾 , if ( 𝐽 = 𝐿 , 𝑆 , 0 ) , ( 𝐼 𝑀 𝐽 ) ) )