Theorem mdsymlem4

Description: Lemma for mdsymi . This is the forward direction of Lemma 4(i) of Maeda p. 168. (Contributed by NM, 2-Jul-2004) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
	mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
	mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
Assertion	mdsymlem4	⊢ ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
4	1 2 3	mdsymlem2	⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐵 ≠ 0ℋ → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) )
5	4	exp31	⊢ ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝐵 ≠ 0ℋ → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) ) )
6	5	com4t	⊢ ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝐵 ≠ 0ℋ → ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) ) )
7	6	ex	⊢ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 → ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( 𝐵 ≠ 0ℋ → ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) ) ) )
8	7	com23	⊢ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 → ( 𝐵 ≠ 0ℋ → ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) ) ) )
9	8	a1d	⊢ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 → ( 𝐴 ≠ 0ℋ → ( 𝐵 ≠ 0ℋ → ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) )
10	9	imp44	⊢ ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
11	10	com3l	⊢ ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
12	1 2 3	mdsymlem3	⊢ ( ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) )
13	12	anasss	⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ ) ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) )
14	13	exp31	⊢ ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ¬ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
15	14	com3r	⊢ ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ ) → ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ¬ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
16	15	ancoms	⊢ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ¬ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
17	16	adantlr	⊢ ( ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ¬ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
18	17	adantl	⊢ ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ¬ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
19	18	com3l	⊢ ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ¬ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 → ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
20	11 19	pm2.61d	⊢ ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) )
21		rexcom	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ↔ ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) )
22	20 21	syl6ib	⊢ ( 𝑝 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) )