Theorem mdsymlem2

Description: Lemma for mdsymi . (Contributed by NM, 1-Jul-2004) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
	mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
	mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
Assertion	mdsymlem2	⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐵 ≠ 0ℋ → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
4	2	hatomici	⊢ ( 𝐵 ≠ 0ℋ → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms 𝑟 ⊆ 𝐵 )
5		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) → 𝑝 ∈ HAtoms )
6		atelch	⊢ ( 𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
7		atelch	⊢ ( 𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
8		chub1	⊢ ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) )
9	6 7 8	syl2an	⊢ ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) )
10	9	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) )
11	10	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) )
12	1 2 3	mdsymlem1	⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → 𝑝 ⊆ 𝐴 )
13	6 12	sylanl1	⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → 𝑝 ⊆ 𝐴 )
14	13	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → 𝑝 ⊆ 𝐴 )
15	11 14	jca	⊢ ( ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → ( 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴 ) )
16	15	anim1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) )
17		anass	⊢ ( ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) )
18	16 17	sylib	⊢ ( ( ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) → ( 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) )
19	18	anasss	⊢ ( ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) → ( 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) )
20		oveq1	⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) = ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) )
21	20	sseq2d	⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ↔ 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) ) )
22		sseq1	⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑝 ⊆ 𝐴 ) )
23	22	anbi1d	⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) )
24	21 23	anbi12d	⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) )
25	24	rspcev	⊢ ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝑝 ⊆ ( 𝑝 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) )
26	5 19 25	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) )
27	26	exp32	⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑟 ∈ HAtoms → ( 𝑟 ⊆ 𝐵 → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
28	27	reximdvai	⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ HAtoms 𝑟 ⊆ 𝐵 → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) )
29	4 28	syl5	⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ HAtoms ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐵 ≠ 0ℋ → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) )