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Theorem mdsymlem1

Description: Lemma for mdsymi . (Contributed by NM, 1-Jul-2004) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses mdsymlem1.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3 ⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
Assertion mdsymlem1 ( ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → 𝑝 ⊆ 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mdsymlem1.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2 mdsymlem1.2 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3 mdsymlem1.3 ⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
4 chub2 ⊢ ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 ) )
5 1 4 mpan2 ⊢ ( 𝑝 ∈ Cℋ → 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 ) )
6 5 3 sseqtrrdi ⊢ ( 𝑝 ∈ Cℋ → 𝑝 ⊆ 𝐶 )
7 1 2 chjcomi ⊢ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) = ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 )
8 7 sseq2i ⊢ ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ↔ 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) )
9 8 biimpi ⊢ ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) )
10 6 9 anim12i ⊢ ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑝 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
11 ssin ⊢ ( ( 𝑝 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ↔ 𝑝 ⊆ ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
12 10 11 sylib ⊢ ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → 𝑝 ⊆ ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
13 12 ad2ant2rl ⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → 𝑝 ⊆ ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
14 chjcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 ) ∈ Cℋ )
15 1 14 mpan ⊢ ( 𝑝 ∈ Cℋ → ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 ) ∈ Cℋ )
16 3 15 eqeltrid ⊢ ( 𝑝 ∈ Cℋ → 𝐶 ∈ Cℋ )
17 16 adantr ⊢ ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
18 chub1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 ) )
19 1 18 mpan ⊢ ( 𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 ) )
20 19 3 sseqtrrdi ⊢ ( 𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ 𝐶 )
21 20 anim2i ⊢ ( ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ) )
22 21 ancoms ⊢ ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ) → ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ) )
23 dmdi ⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐶 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) = ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
24 2 23 mp3anl1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐶 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) = ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
25 1 24 mpanl1 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐶 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) = ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
26 17 22 25 syl2anc ⊢ ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ) → ( ( 𝐶 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) = ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
27 26 adantlr ⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ) → ( ( 𝐶 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) = ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
28 incom ⊢ ( 𝐶 ∩ 𝐵 ) = ( 𝐵 ∩ 𝐶 )
29 28 oveq1i ⊢ ( ( 𝐶 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) = ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∨ℋ 𝐴 )
30 chincl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∈ Cℋ )
31 2 30 mpan ⊢ ( 𝐶 ∈ Cℋ → ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∈ Cℋ )
32 chlejb1 ⊢ ( ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ↔ ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∨ℋ 𝐴 ) = 𝐴 ) )
33 1 32 mpan2 ⊢ ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∈ Cℋ → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ↔ ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∨ℋ 𝐴 ) = 𝐴 ) )
34 16 31 33 3syl ⊢ ( 𝑝 ∈ Cℋ → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ↔ ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∨ℋ 𝐴 ) = 𝐴 ) )
35 34 biimpa ⊢ ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∨ℋ 𝐴 ) = 𝐴 )
36 29 35 eqtrid ⊢ ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) = 𝐴 )
37 36 adantr ⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ) → ( ( 𝐶 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) = 𝐴 )
38 27 37 eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ) → ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) = 𝐴 )
39 38 adantrr ⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) = 𝐴 )
40 13 39 sseqtrd ⊢ ( ( ( 𝑝 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) → 𝑝 ⊆ 𝐴 )