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Theorem mdsymlem8

Description: Lemma for mdsymi . Lemma 4(ii) of Maeda p. 168. (Contributed by NM, 3-Jul-2004) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses mdsymlem1.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3 ⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
Assertion mdsymlem8 ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) → ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mdsymlem1.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2 mdsymlem1.2 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3 mdsymlem1.3 ⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
4 1 2 chjcomi ⊢ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) = ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 )
5 4 sseq2i ⊢ ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ↔ 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) )
6 atelch ⊢ ( 𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
7 atelch ⊢ ( 𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
8 chjcom ⊢ ( ( 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) → ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) = ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) )
9 6 7 8 syl2an ⊢ ( ( 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) = ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) )
10 9 sseq2d ⊢ ( ( 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ↔ 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ) )
11 ancom ⊢ ( ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) )
12 11 a1i ⊢ ( ( 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) )
13 10 12 anbi12d ⊢ ( ( 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) ) )
14 13 2rexbiia ⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ↔ ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) )
15 rexcom ⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) )
16 14 15 bitri ⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) )
17 5 16 imbi12i ⊢ ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ↔ ( 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) ) )
18 17 ralbii ⊢ ( ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) ) )
19 18 a1i ⊢ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) → ( ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) ) ) )
20 1 2 3 mdsymlem7 ⊢ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) → ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) )
21 eqid ⊢ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑝 ) = ( 𝐵 ∨ℋ 𝑝 )
22 2 1 21 mdsymlem7 ⊢ ( ( 𝐵 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ ) → ( 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) ) ) )
23 22 ancoms ⊢ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) → ( 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) → ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑟 ∨ℋ 𝑞 ) ∧ ( 𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴 ) ) ) ) )
24 19 20 23 3bitr4d ⊢ ( ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ≠ 0ℋ ) → ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ) )