Theorem mnflt

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005)

	Ref	Expression
Assertion	mnflt	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid	⊢ -∞ = -∞
2		olc	⊢ ( ( -∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) )
3	1 2	mpan	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) )
4	3	olcd	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴 ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞ ) ) ∨ ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ) )
5		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		rexr	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ* )
7		ltxr	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ) → ( -∞ < 𝐴 ↔ ( ( ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴 ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞ ) ) ∨ ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ) ) )
8	5 6 7	sylancr	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( -∞ < 𝐴 ↔ ( ( ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴 ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞ ) ) ∨ ( ( -∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞ ) ∨ ( -∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ) ) )
9	4 8	mpbird	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴 )