Theorem ncvr1

Description: No element covers the lattice unit. (Contributed by NM, 8-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	ncvr1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	ncvr1.u	⊢ 1 = ( 1. ‘ 𝐾 )
	ncvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
Assertion	ncvr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ¬ 1 𝐶 𝑋 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncvr1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		ncvr1.u	⊢ 1 = ( 1. ‘ 𝐾 )
3		ncvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
4		eqid	⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
5	1 4 2	ople1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 1 )
6		opposet	⊢ ( 𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset )
7	6	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝐾 ∈ Poset )
8	1 2	op1cl	⊢ ( 𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵 )
9	8	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 1 ∈ 𝐵 )
10		simplr	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
11		simpr	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
12		eqid	⊢ ( lt ‘ 𝐾 ) = ( lt ‘ 𝐾 )
13	1 4 12	pltnle	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Poset ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 1 )
14	7 9 10 11 13	syl31anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 1 )
15	14	ex	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 → ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 1 ) )
16	5 15	mt2d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ¬ 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
17		simpll	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 𝐶 𝑋 ) → 𝐾 ∈ OP )
18	8	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 𝐶 𝑋 ) → 1 ∈ 𝐵 )
19		simplr	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 𝐶 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
20		simpr	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 𝐶 𝑋 ) → 1 𝐶 𝑋 )
21	1 12 3	cvrlt	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 𝐶 𝑋 ) → 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
22	17 18 19 20 21	syl31anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 𝐶 𝑋 ) → 1 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 )
23	16 22	mtand	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ¬ 1 𝐶 𝑋 )