Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
2 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ ) |
3 |
1 2 2
|
subsub4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) = ( 𝑁 − ( 1 + 1 ) ) ) |
4 |
|
1p1e2 |
⊢ ( 1 + 1 ) = 2 |
5 |
4
|
oveq2i |
⊢ ( 𝑁 − ( 1 + 1 ) ) = ( 𝑁 − 2 ) |
6 |
3 5
|
eqtr2di |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 − 2 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( 𝑁 − 2 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) ) |
8 |
|
3simpa |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) |
9 |
|
elnnne0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) |
10 |
8 9
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
11 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
12 |
10 11
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
13 |
1 2
|
subeq0ad |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 1 ) = 0 ↔ 𝑁 = 1 ) ) |
14 |
13
|
biimpd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 1 ) = 0 → 𝑁 = 1 ) ) |
15 |
14
|
necon3d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ≠ 1 → ( 𝑁 − 1 ) ≠ 0 ) ) |
16 |
15
|
imp |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( 𝑁 − 1 ) ≠ 0 ) |
17 |
16
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( 𝑁 − 1 ) ≠ 0 ) |
18 |
|
elnnne0 |
⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ ↔ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ≠ 0 ) ) |
19 |
12 17 18
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ ) |
20 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ → ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
21 |
19 20
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
22 |
7 21
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ0 ) |
23 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
24 |
23
|
jctl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) |
25 |
24
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) |
26 |
|
nn0sub |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ≤ 𝑁 ↔ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ0 ) ) |
27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( 2 ≤ 𝑁 ↔ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ0 ) ) |
28 |
22 27
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → 2 ≤ 𝑁 ) |