Theorem nzrpropd

Description: If two structures have the same components (properties), one is a nonzero ring iff the other one is. (Contributed by SN, 21-Jun-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	nzrpropd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) )
	nzrpropd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ 𝐿 ) )
	nzrpropd.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐿 ) 𝑦 ) )
	nzrpropd.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( .r ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( .r ‘ 𝐿 ) 𝑦 ) )
Assertion	nzrpropd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ NzRing ↔ 𝐿 ∈ NzRing ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrpropd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) )
2		nzrpropd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ 𝐿 ) )
3		nzrpropd.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( +g ‘ 𝐿 ) 𝑦 ) )
4		nzrpropd.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( .r ‘ 𝐾 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( .r ‘ 𝐿 ) 𝑦 ) )
5	1 2 3 4	ringpropd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring ) )
6	1 2 4	rngidpropd	⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝐾 ) = ( 1r ‘ 𝐿 ) )
7	1 2 3	grpidpropd	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝐾 ) = ( 0g ‘ 𝐿 ) )
8	6 7	neeq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1r ‘ 𝐾 ) ≠ ( 0g ‘ 𝐾 ) ↔ ( 1r ‘ 𝐿 ) ≠ ( 0g ‘ 𝐿 ) ) )
9	5 8	anbi12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ∈ Ring ∧ ( 1r ‘ 𝐾 ) ≠ ( 0g ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( 𝐿 ∈ Ring ∧ ( 1r ‘ 𝐿 ) ≠ ( 0g ‘ 𝐿 ) ) ) )
10		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝐾 ) = ( 1r ‘ 𝐾 )
11		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝐾 ) = ( 0g ‘ 𝐾 )
12	10 11	isnzr	⊢ ( 𝐾 ∈ NzRing ↔ ( 𝐾 ∈ Ring ∧ ( 1r ‘ 𝐾 ) ≠ ( 0g ‘ 𝐾 ) ) )
13		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝐿 ) = ( 1r ‘ 𝐿 )
14		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝐿 ) = ( 0g ‘ 𝐿 )
15	13 14	isnzr	⊢ ( 𝐿 ∈ NzRing ↔ ( 𝐿 ∈ Ring ∧ ( 1r ‘ 𝐿 ) ≠ ( 0g ‘ 𝐿 ) ) )
16	9 12 15	3bitr4g	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ NzRing ↔ 𝐿 ∈ NzRing ) )