Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ov2ssiunov2.def |
⊢ 𝐶 = ( 𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 ( 𝑟 ↑ 𝑛 ) ) |
2 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁 ) → 𝑀 ∈ 𝑁 ) |
3 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑛 = 𝑀 ) → 𝑛 = 𝑀 ) |
4 |
3
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑛 = 𝑀 ) → ( 𝑅 ↑ 𝑛 ) = ( 𝑅 ↑ 𝑀 ) ) |
5 |
4
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑛 = 𝑀 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑅 ↑ 𝑛 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑅 ↑ 𝑀 ) ) ) |
6 |
2 5
|
rspcedv |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑅 ↑ 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ 𝑁 𝑥 ∈ ( 𝑅 ↑ 𝑛 ) ) ) |
7 |
1
|
eliunov2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ↔ ∃ 𝑛 ∈ 𝑁 𝑥 ∈ ( 𝑅 ↑ 𝑛 ) ) ) |
8 |
7
|
biimprd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ) → ( ∃ 𝑛 ∈ 𝑁 𝑥 ∈ ( 𝑅 ↑ 𝑛 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ) ) |
9 |
8
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁 ) → ( ∃ 𝑛 ∈ 𝑁 𝑥 ∈ ( 𝑅 ↑ 𝑛 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ) ) |
10 |
6 9
|
syld |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑅 ↑ 𝑀 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ) ) |
11 |
10
|
ssrdv |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 ↑ 𝑀 ) ⊆ ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ) |