Theorem pcoval

Description: The concatenation of two paths. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	pcoval.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( II Cn 𝐽 ) )
	pcoval.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( II Cn 𝐽 ) )
Assertion	pcoval	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ( *𝑝 ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ if ( 𝑥 ≤ ( 1 / 2 ) , ( 𝐹 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) , ( 𝐺 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( II Cn 𝐽 ) )
2		pcoval.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( II Cn 𝐽 ) )
3		fveq1	⊢ ( 𝑓 = 𝐹 → ( 𝑓 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) )
4	3	adantr	⊢ ( ( 𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺 ) → ( 𝑓 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) )
5		fveq1	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑔 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) )
6	5	adantl	⊢ ( ( 𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺 ) → ( 𝑔 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) )
7	4 6	ifeq12d	⊢ ( ( 𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺 ) → if ( 𝑥 ≤ ( 1 / 2 ) , ( 𝑓 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) , ( 𝑔 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑥 ≤ ( 1 / 2 ) , ( 𝐹 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) , ( 𝐺 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) ) )
8	7	mpteq2dv	⊢ ( ( 𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ if ( 𝑥 ≤ ( 1 / 2 ) , ( 𝑓 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) , ( 𝑔 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ if ( 𝑥 ≤ ( 1 / 2 ) , ( 𝐹 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) , ( 𝐺 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
9		pcofval	⊢ ( *𝑝 ‘ 𝐽 ) = ( 𝑓 ∈ ( II Cn 𝐽 ) , 𝑔 ∈ ( II Cn 𝐽 ) ↦ ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ if ( 𝑥 ≤ ( 1 / 2 ) , ( 𝑓 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) , ( 𝑔 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
10		ovex	⊢ ( 0 [,] 1 ) ∈ V
11	10	mptex	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ if ( 𝑥 ≤ ( 1 / 2 ) , ( 𝐹 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) , ( 𝐺 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) ∈ V
12	8 9 11	ovmpoa	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( II Cn 𝐽 ) ∧ 𝐺 ∈ ( II Cn 𝐽 ) ) → ( 𝐹 ( *𝑝 ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ if ( 𝑥 ≤ ( 1 / 2 ) , ( 𝐹 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) , ( 𝐺 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )
13	1 2 12	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ( *𝑝 ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ if ( 𝑥 ≤ ( 1 / 2 ) , ( 𝐹 ‘ ( 2 · 𝑥 ) ) , ( 𝐺 ‘ ( ( 2 · 𝑥 ) − 1 ) ) ) ) )