Metamath Proof Explorer


Theorem pexmidlem2N

Description: Lemma for pexmidN . (Contributed by NM, 2-Feb-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses pexmidlem.l = ( le ‘ 𝐾 )
pexmidlem.j = ( join ‘ 𝐾 )
pexmidlem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
pexmidlem.p + = ( +𝑃𝐾 )
pexmidlem.o = ( ⊥𝑃𝐾 )
pexmidlem.m 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
Assertion pexmidlem2N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pexmidlem.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 pexmidlem.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 pexmidlem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 pexmidlem.p + = ( +𝑃𝐾 )
5 pexmidlem.o = ( ⊥𝑃𝐾 )
6 pexmidlem.m 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
7 simpl1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8 7 hllatd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
9 simpl2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝑋𝐴 )
10 3 5 polssatN ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ) → ( 𝑋 ) ⊆ 𝐴 )
11 7 9 10 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → ( 𝑋 ) ⊆ 𝐴 )
12 simpr1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝑟𝑋 )
13 simpr2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝑋 ) )
14 simpl3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝑝𝐴 )
15 simpr3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) )
16 1 2 3 4 elpaddri ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑋 ) ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( 𝑋 ) ) )
17 8 9 11 12 13 14 15 16 syl322anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴 ) ∧ ( 𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋 ) ∧ 𝑝 ( 𝑟 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( 𝑋 ) ) )