Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
poirr |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ) |
2 |
1
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ) |
3 |
|
potr |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) → 𝐵 𝑅 𝐵 ) ) |
4 |
3
|
3exp2 |
⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) → 𝐵 𝑅 𝐵 ) ) ) ) ) |
5 |
4
|
com34 |
⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) → 𝐵 𝑅 𝐵 ) ) ) ) ) |
6 |
5
|
pm2.43d |
⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) → 𝐵 𝑅 𝐵 ) ) ) ) |
7 |
6
|
imp32 |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) → 𝐵 𝑅 𝐵 ) ) |
8 |
2 7
|
mtod |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) ) |