Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
po2nr |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐵 𝑅 𝐷 ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) ) |
2 |
1
|
3adantr2 |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐵 𝑅 𝐷 ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) ) |
3 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) ) |
4 |
|
potr |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) |
5 |
4
|
anim1d |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) → ( 𝐵 𝑅 𝐷 ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) ) ) |
6 |
3 5
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) → ( 𝐵 𝑅 𝐷 ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) ) ) |
7 |
2 6
|
mtod |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) ) |