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Theorem po3nr

Description: A partial order has no 3-cycle loops. (Contributed by NM, 27-Mar-1997)

Ref Expression
Assertion po3nr ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐵 𝑅 𝐶𝐶 𝑅 𝐷𝐷 𝑅 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 po2nr ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵𝐴𝐷𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐵 𝑅 𝐷𝐷 𝑅 𝐵 ) )
2 1 3adantr2 ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐵 𝑅 𝐷𝐷 𝑅 𝐵 ) )
3 df-3an ( ( 𝐵 𝑅 𝐶𝐶 𝑅 𝐷𝐷 𝑅 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶𝐶 𝑅 𝐷 ) ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) )
4 potr ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴 ) ) → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) )
5 4 anim1d ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐵 𝑅 𝐶𝐶 𝑅 𝐷 ) ∧ 𝐷 𝑅 𝐵 ) → ( 𝐵 𝑅 𝐷𝐷 𝑅 𝐵 ) ) )
6 3 5 syl5bi ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴 ) ) → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶𝐶 𝑅 𝐷𝐷 𝑅 𝐵 ) → ( 𝐵 𝑅 𝐷𝐷 𝑅 𝐵 ) ) )
7 2 6 mtod ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐵 𝑅 𝐶𝐶 𝑅 𝐷𝐷 𝑅 𝐵 ) )