Theorem pocl

Description: Properties of partial order relation in class notation. (Contributed by NM, 27-Mar-1997)

	Ref	Expression
Assertion	pocl	⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵 )
2	1 1	breq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 𝑅 𝑥 ↔ 𝐵 𝑅 𝐵 ) )
3	2	notbid	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ↔ ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ) )
4		breq1	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝐵 𝑅 𝑦 ) )
5	4	anbi1d	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) ↔ ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) )
6		breq1	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ↔ 𝐵 𝑅 𝑧 ) )
7	5 6	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ↔ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) )
8	3 7	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) )
9	8	imbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) ↔ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) ) )
10		breq2	⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( 𝐵 𝑅 𝑦 ↔ 𝐵 𝑅 𝐶 ) )
11		breq1	⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( 𝑦 𝑅 𝑧 ↔ 𝐶 𝑅 𝑧 ) )
12	10 11	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) ↔ ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) ) )
13	12	imbi1d	⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ↔ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) )
14	13	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) )
15	14	imbi2d	⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) ↔ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) ) )
16		breq2	⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( 𝐶 𝑅 𝑧 ↔ 𝐶 𝑅 𝐷 ) )
17	16	anbi2d	⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) ↔ ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) ) )
18		breq2	⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( 𝐵 𝑅 𝑧 ↔ 𝐵 𝑅 𝐷 ) )
19	17 18	imbi12d	⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ↔ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) )
20	19	anbi2d	⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) )
21	20	imbi2d	⊢ ( 𝑧 = 𝐷 → ( ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝑧 ) → 𝐵 𝑅 𝑧 ) ) ) ↔ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) ) )
22		df-po	⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
23		r3al	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
24	22 23	sylbb	⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
25	24	19.21bbi	⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
26	25	19.21bi	⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
27	26	com12	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) )
28	9 15 21 27	vtocl3ga	⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) )
29	28	com12	⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ∧ ( ( 𝐵 𝑅 𝐶 ∧ 𝐶 𝑅 𝐷 ) → 𝐵 𝑅 𝐷 ) ) ) )