Theorem posdif

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004)

	Ref	Expression
Assertion	posdif	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
2	1	ancoms	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
3		simpl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
4		ltaddpos	⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ↔ 𝐴 < ( 𝐴 + ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) )
5	2 3 4	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ↔ 𝐴 < ( 𝐴 + ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) )
6		recn	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
7		recn	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ )
8		pncan3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = 𝐵 )
9	6 7 8	syl2an	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = 𝐵 )
10	9	breq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < ( 𝐴 + ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ↔ 𝐴 < 𝐵 ) )
11	5 10	bitr2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )