Theorem recdiv

Description: The reciprocal of a ratio. (Contributed by NM, 3-Aug-2004)

	Ref	Expression
Assertion	recdiv	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 1 / ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( 𝐵 / 𝐴 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1div1e1	⊢ ( 1 / 1 ) = 1
2	1	oveq1i	⊢ ( ( 1 / 1 ) / ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( 1 / ( 𝐴 / 𝐵 ) )
3		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-1ne0	⊢ 1 ≠ 0
5	3 4	pm3.2i	⊢ ( 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 )
6		divdivdiv	⊢ ( ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 1 / 1 ) / ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( ( 1 · 𝐵 ) / ( 1 · 𝐴 ) ) )
7	3 5 6	mpanl12	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 1 / 1 ) / ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( ( 1 · 𝐵 ) / ( 1 · 𝐴 ) ) )
8	2 7	eqtr3id	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 1 / ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( ( 1 · 𝐵 ) / ( 1 · 𝐴 ) ) )
9		mullid	⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( 1 · 𝐵 ) = 𝐵 )
10		mullid	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴 )
11	9 10	oveqan12rd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 · 𝐵 ) / ( 1 · 𝐴 ) ) = ( 𝐵 / 𝐴 ) )
12	11	ad2ant2r	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 1 · 𝐵 ) / ( 1 · 𝐴 ) ) = ( 𝐵 / 𝐴 ) )
13	8 12	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 1 / ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( 𝐵 / 𝐴 ) )