Theorem revfv

Description: Reverse of a word at a point. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	revfv	⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑋 ) = ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑋 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		revval	⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝐴 → ( reverse ‘ 𝑊 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑥 ) ) ) )
2	1	fveq1d	⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝐴 → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑋 ) )
3		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑥 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑋 ) )
4	3	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑥 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑋 ) ) )
5		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑥 ) ) )
6		fvex	⊢ ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑋 ) ) ∈ V
7	4 5 6	fvmpt	⊢ ( 𝑋 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑋 ) = ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑋 ) ) )
8	2 7	sylan9eq	⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( reverse ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑋 ) = ( 𝑊 ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 𝑋 ) ) )