Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
drngring |
⊢ ( 𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring ) |
2 |
|
rlmlmod |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ DivRing → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ) |
4 |
|
rlmsca |
⊢ ( 𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 = ( Scalar ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ) |
5 |
|
id |
⊢ ( 𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ DivRing ) |
6 |
4 5
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ DivRing → ( Scalar ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ∈ DivRing ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( Scalar ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) = ( Scalar ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) |
8 |
7
|
islvec |
⊢ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LVec ↔ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ∧ ( Scalar ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ∈ DivRing ) ) |
9 |
3 6 8
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝑅 ∈ DivRing → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LVec ) |