Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
2 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
3 |
1 2
|
jctil |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) ) |
4 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → 𝐵 ∈ 𝑆 ) |
5 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
6 |
4 5
|
jctil |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ) |
7 |
3 6
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ) ) |
8 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
9 |
|
0ne1 |
⊢ 0 ≠ 1 |
10 |
8 9
|
jctil |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ) |
11 |
|
f1oprg |
⊢ ( ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } : { 0 , 1 } –1-1-onto→ { 𝐴 , 𝐵 } ) ) |
12 |
7 10 11
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } : { 0 , 1 } –1-1-onto→ { 𝐴 , 𝐵 } ) |
13 |
|
eqcom |
⊢ ( 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ↔ 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 = 𝐸 ) |
14 |
|
s2prop |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) → 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ) |
15 |
14
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 = { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } ) |
16 |
15
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 = 𝐸 ↔ { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } = 𝐸 ) ) |
17 |
13 16
|
syl5bb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ↔ { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } = 𝐸 ) ) |
18 |
17
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } = 𝐸 ) |
19 |
18
|
f1oeq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → ( { 〈 0 , 𝐴 〉 , 〈 1 , 𝐵 〉 } : { 0 , 1 } –1-1-onto→ { 𝐴 , 𝐵 } ↔ 𝐸 : { 0 , 1 } –1-1-onto→ { 𝐴 , 𝐵 } ) ) |
20 |
12 19
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) ∧ 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 ) → 𝐸 : { 0 , 1 } –1-1-onto→ { 𝐴 , 𝐵 } ) |
21 |
20
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( 𝐸 = 〈“ 𝐴 𝐵 ”〉 → 𝐸 : { 0 , 1 } –1-1-onto→ { 𝐴 , 𝐵 } ) ) |