Theorem scmsuppfi

Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is finite if the support of the function of scalars is finite. (Contributed by AV, 5-Apr-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	scmsuppfi.s	⊢ 𝑆 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
	scmsuppfi.r	⊢ 𝑅 = ( Base ‘ 𝑆 )
Assertion	scmsuppfi	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ∈ Fin ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑣 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑣 ) ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmsuppfi.s	⊢ 𝑆 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
2		scmsuppfi.r	⊢ 𝑅 = ( Base ‘ 𝑆 )
3		simp3	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ∈ Fin ) → ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ∈ Fin )
4		simpll	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) → 𝑀 ∈ LMod )
5		simplr	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) → 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
6		simpr	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) )
7	4 5 6	3jca	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) )
8	7	3adant3	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ∈ Fin ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) )
9	1 2	scmsuppss	⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑣 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑣 ) ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ⊆ ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) )
10	8 9	syl	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ∈ Fin ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑣 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑣 ) ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ⊆ ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) )
11		ssfi	⊢ ( ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ∈ Fin ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑣 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑣 ) ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ⊆ ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑣 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑣 ) ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin )
12	3 10 11	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑆 ) ) ∈ Fin ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑣 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑣 ) ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin )