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Theorem slmdvsdi

Description: Distributive law for scalar product. ( ax-hvdistr1 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018)

Ref Expression
Hypotheses slmdvsdi.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
slmdvsdi.a + = ( +g𝑊 )
slmdvsdi.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
slmdvsdi.s · = ( ·𝑠𝑊 )
slmdvsdi.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
Assertion slmdvsdi ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅𝐾𝑋𝑉𝑌𝑉 ) ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 slmdvsdi.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2 slmdvsdi.a + = ( +g𝑊 )
3 slmdvsdi.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
4 slmdvsdi.s · = ( ·𝑠𝑊 )
5 slmdvsdi.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
6 eqid ( 0g𝑊 ) = ( 0g𝑊 )
7 eqid ( +g𝐹 ) = ( +g𝐹 )
8 eqid ( .r𝐹 ) = ( .r𝐹 )
9 eqid ( 1r𝐹 ) = ( 1r𝐹 )
10 eqid ( 0g𝐹 ) = ( 0g𝐹 )
11 1 2 4 6 3 5 7 8 9 10 slmdlema ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅𝐾𝑅𝐾 ) ∧ ( 𝑌𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ( .r𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑅 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ∧ ( ( 0g𝐹 ) · 𝑋 ) = ( 0g𝑊 ) ) ) )
12 11 simpld ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅𝐾𝑅𝐾 ) ∧ ( 𝑌𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) )
13 12 simp2d ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅𝐾𝑅𝐾 ) ∧ ( 𝑌𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) )
14 13 3expia ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅𝐾𝑅𝐾 ) ) → ( ( 𝑌𝑉𝑋𝑉 ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) )
15 14 anabsan2 ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑅𝐾 ) → ( ( 𝑌𝑉𝑋𝑉 ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) )
16 15 exp4b ( 𝑊 ∈ SLMod → ( 𝑅𝐾 → ( 𝑌𝑉 → ( 𝑋𝑉 → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) ) ) )
17 16 com34 ( 𝑊 ∈ SLMod → ( 𝑅𝐾 → ( 𝑋𝑉 → ( 𝑌𝑉 → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) ) ) )
18 17 3imp2 ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅𝐾𝑋𝑉𝑌𝑉 ) ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) )