Metamath Proof Explorer

Theorem srgcl

Description: Closure of the multiplication operation of a semiring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018)

Ref Expression
Hypotheses srgcl.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
srgcl.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
Assertion srgcl ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 srgcl.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
2 srgcl.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
3 eqid โŠข ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) = ( mulGrp โ€˜ ๐‘… )
4 3 srgmgp โŠข ( ๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ Mnd )
5 3 1 mgpbas โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) )
6 3 2 mgpplusg โŠข ยท = ( +g โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) )
7 5 6 mndcl โŠข ( ( ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต )
8 4 7 syl3an1 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต )