Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
addmulsub |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) ) |
2 |
1
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) ) |
3 |
2
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 − ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) = ( 𝐸 − ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) ) ) |
4 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐸 ∈ ℂ ) |
5 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
6 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
7 |
5 6
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
8 |
|
simp1r |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
9 |
8 6
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
10 |
7 9
|
addcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∈ ℂ ) |
11 |
|
simp2r |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐷 ∈ ℂ ) |
12 |
5 11
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐷 ) ∈ ℂ ) |
13 |
8 11
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐷 ) ∈ ℂ ) |
14 |
12 13
|
addcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ∈ ℂ ) |
15 |
4 10 14
|
subsubd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 − ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) ) = ( ( 𝐸 − ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) ) |
16 |
4 7 9
|
subsub4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐸 − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( 𝐸 − ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) ) |
17 |
16
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 − ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) = ( ( 𝐸 − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐸 − ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝐸 − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) ) |
19 |
3 15 18
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 − ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝐸 − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) ) |