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Theorem subaddmulsub

Description: The difference with a product of a sum and a difference. (Contributed by AV, 5-Mar-2023)

Ref Expression
Assertion subaddmulsub ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 − ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝐸 − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 addmulsub ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )
2 1 3adant3 ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )
3 2 oveq2d ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 − ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶𝐷 ) ) ) = ( 𝐸 − ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) ) )
4 simp3 ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐸 ∈ ℂ )
5 simp1l ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
6 simp2l ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
7 5 6 mulcld ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
8 simp1r ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
9 8 6 mulcld ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
10 7 9 addcld ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
11 simp2r ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → 𝐷 ∈ ℂ )
12 5 11 mulcld ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐷 ) ∈ ℂ )
13 8 11 mulcld ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐷 ) ∈ ℂ )
14 12 13 addcld ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ∈ ℂ )
15 4 10 14 subsubd ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 − ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) ) = ( ( 𝐸 − ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )
16 4 7 9 subsub4d ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐸 − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( 𝐸 − ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) )
17 16 eqcomd ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 − ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) = ( ( 𝐸 − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
18 17 oveq1d ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐸 − ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝐸 − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )
19 3 15 18 3eqtrd ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 − ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝐸 − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )