Theorem addmulsub

Description: The product of a sum and a difference. (Contributed by AV, 5-Mar-2023)

	Ref	Expression
Assertion	addmulsub	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
2		simplr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
3	1 2	addcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ )
4		simprl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
5		simprr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → 𝐷 ∈ ℂ )
6	3 4 5	subdid	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · 𝐶 ) − ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · 𝐷 ) ) )
7	1 2 4	adddird	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
8	1 2 5	adddird	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · 𝐷 ) = ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
9	7 8	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · 𝐶 ) − ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )
10	6 9	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )