Theorem subsub2

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 30-Jun-2005) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	subsub2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ )
2	1	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ )
3		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
4		simp3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
5		simp2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
6		subcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
7	4 5 6	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
8	2 3 7	add12d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) = ( 𝐴 + ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) )
9		npncan2	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = 0 )
10	9	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = 0 )
11	10	oveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) = ( 𝐴 + 0 ) )
12	3	addid1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + 0 ) = 𝐴 )
13	8 11 12	3eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) = 𝐴 )
14	3 7	addcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
15		subadd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) = 𝐴 ) )
16	3 2 14 15	syl3anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) = 𝐴 ) )
17	13 16	mpbird	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )