Description: The supremum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007)
Ref | Expression | ||
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Assertion | supsn | ⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) → sup ( { 𝐵 } , 𝐴 , 𝑅 ) = 𝐵 ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dfsn2 | ⊢ { 𝐵 } = { 𝐵 , 𝐵 } | |
2 | 1 | supeq1i | ⊢ sup ( { 𝐵 } , 𝐴 , 𝑅 ) = sup ( { 𝐵 , 𝐵 } , 𝐴 , 𝑅 ) |
3 | suppr | ⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) → sup ( { 𝐵 , 𝐵 } , 𝐴 , 𝑅 ) = if ( 𝐵 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐵 ) ) | |
4 | 3 | 3anidm23 | ⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) → sup ( { 𝐵 , 𝐵 } , 𝐴 , 𝑅 ) = if ( 𝐵 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐵 ) ) |
5 | 2 4 | eqtrid | ⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) → sup ( { 𝐵 } , 𝐴 , 𝑅 ) = if ( 𝐵 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐵 ) ) |
6 | ifid | ⊢ if ( 𝐵 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐵 ) = 𝐵 | |
7 | 5 6 | eqtrdi | ⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) → sup ( { 𝐵 } , 𝐴 , 𝑅 ) = 𝐵 ) |