Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → 𝑅 Or 𝐴 ) |
2 |
|
ifcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) ∈ 𝐴 ) |
3 |
2
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) ∈ 𝐴 ) |
4 |
|
ifpr |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) ∈ { 𝐵 , 𝐶 } ) |
5 |
4
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) ∈ { 𝐵 , 𝐶 } ) |
6 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) → ( 𝐵 𝑅 𝐵 ↔ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐵 ) ) |
7 |
6
|
notbid |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ↔ ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐵 ) ) |
8 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) → ( 𝐶 𝑅 𝐵 ↔ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐵 ) ) |
9 |
8
|
notbid |
⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) → ( ¬ 𝐶 𝑅 𝐵 ↔ ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐵 ) ) |
10 |
|
sonr |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ) |
11 |
10
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) → ¬ 𝐵 𝑅 𝐵 ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐶 𝑅 𝐵 ) → ¬ 𝐶 𝑅 𝐵 ) |
14 |
7 9 12 13
|
ifbothda |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐵 ) |
15 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) → ( 𝐵 𝑅 𝐶 ↔ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐶 ) ) |
16 |
15
|
notbid |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) → ( ¬ 𝐵 𝑅 𝐶 ↔ ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐶 ) ) |
17 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) → ( 𝐶 𝑅 𝐶 ↔ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐶 ) ) |
18 |
17
|
notbid |
⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) → ( ¬ 𝐶 𝑅 𝐶 ↔ ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐶 ) ) |
19 |
|
so2nr |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐶 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) ) |
20 |
19
|
3impb |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ) → ¬ ( 𝐶 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) ) |
21 |
20
|
3com23 |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ¬ ( 𝐶 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) ) |
22 |
|
imnan |
⊢ ( ( 𝐶 𝑅 𝐵 → ¬ 𝐵 𝑅 𝐶 ) ↔ ¬ ( 𝐶 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) ) |
23 |
21 22
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 𝑅 𝐵 → ¬ 𝐵 𝑅 𝐶 ) ) |
24 |
23
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) → ¬ 𝐵 𝑅 𝐶 ) |
25 |
|
sonr |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝐶 𝑅 𝐶 ) |
26 |
25
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝐶 𝑅 𝐶 ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝐶 𝑅 𝐵 ) → ¬ 𝐶 𝑅 𝐶 ) |
28 |
16 18 24 27
|
ifbothda |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐶 ) |
29 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐵 → ( if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝑦 ↔ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐵 ) ) |
30 |
29
|
notbid |
⊢ ( 𝑦 = 𝐵 → ( ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝑦 ↔ ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐵 ) ) |
31 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝑦 ↔ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐶 ) ) |
32 |
31
|
notbid |
⊢ ( 𝑦 = 𝐶 → ( ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝑦 ↔ ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐶 ) ) |
33 |
30 32
|
ralprg |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ { 𝐵 , 𝐶 } ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝑦 ↔ ( ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐵 ∧ ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐶 ) ) ) |
34 |
33
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ { 𝐵 , 𝐶 } ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝑦 ↔ ( ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐵 ∧ ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝐶 ) ) ) |
35 |
14 28 34
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑦 ∈ { 𝐵 , 𝐶 } ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝑦 ) |
36 |
35
|
r19.21bi |
⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ { 𝐵 , 𝐶 } ) → ¬ if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) 𝑅 𝑦 ) |
37 |
1 3 5 36
|
supmax |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → sup ( { 𝐵 , 𝐶 } , 𝐴 , 𝑅 ) = if ( 𝐶 𝑅 𝐵 , 𝐵 , 𝐶 ) ) |