Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
symgext.s |
⊢ 𝑆 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) |
2 |
|
symgext.e |
⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑥 = 𝐾 , 𝐾 , ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) |
3 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑥 = 𝐾 ) → 𝐾 ∈ 𝑁 ) |
4 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾 ) → 𝑍 ∈ 𝑆 ) |
5 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ) → 𝑥 ∈ 𝑁 ) |
6 |
|
neqne |
⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝐾 → 𝑥 ≠ 𝐾 ) |
7 |
5 6
|
anim12i |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≠ 𝐾 ) ) |
8 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≠ 𝐾 ) ) |
9 |
7 8
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) = ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) |
11 |
10 1
|
symgfv |
⊢ ( ( 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) |
12 |
4 9 11
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾 ) → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) |
13 |
12
|
eldifad |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾 ) → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑁 ) |
14 |
3 13
|
ifclda |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ) → if ( 𝑥 = 𝐾 , 𝐾 , ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝑁 ) |
15 |
14 2
|
fmptd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → 𝐸 : 𝑁 ⟶ 𝑁 ) |