Theorem wzel

Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018) (Revised by AV, 10-Oct-2021)

	Ref	Expression
Assertion	wzel	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → inf ( 𝐴 , 𝐴 , 𝑅 ) ∈ 𝐴 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weso	⊢ ( 𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴 )
2	1	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝑅 Or 𝐴 )
3		simp1	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝑅 We 𝐴 )
4		simp2	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝑅 Se 𝐴 )
5		ssidd	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝐴 ⊆ 𝐴 )
6		simp3	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝐴 ≠ ∅ )
7		tz6.26	⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ )
8	3 4 5 6 7	syl22anc	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ )
9		vex	⊢ 𝑦 ∈ V
10	9	elpred	⊢ ( 𝑥 ∈ V → ( 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
11	10	elv	⊢ ( 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) )
12	11	notbii	⊢ ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) ↔ ¬ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) )
13		imnan	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ↔ ¬ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) )
14	12 13	bitr4i	⊢ ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) )
15		pm2.27	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) )
16	15	ad2antll	⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) )
17		breq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( 𝑧 𝑅 𝑦 ↔ 𝑥 𝑅 𝑦 ) )
18	17	rspcev	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 )
19	18	ex	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) )
20	19	ad2antrl	⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) )
21	16 20	jctird	⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) )
22	14 21	biimtrid	⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) )
23	22	expr	⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) )
24	23	com23	⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) )
25	24	alimdv	⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ∀ 𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) → ∀ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) )
26		eq0	⊢ ( Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ ↔ ∀ 𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) )
27		r19.26	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) )
28		df-ral	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) )
29	27 28	bitr3i	⊢ ( ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) )
30	25 26 29	3imtr4g	⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) )
31	30	reximdva	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) )
32	8 31	mpd	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) )
33	2 32	infcl	⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → inf ( 𝐴 , 𝐴 , 𝑅 ) ∈ 𝐴 )