Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
weso |
⊢ ( 𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴 ) |
2 |
1
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝑅 Or 𝐴 ) |
3 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝑅 We 𝐴 ) |
4 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝑅 Se 𝐴 ) |
5 |
|
ssidd |
⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝐴 ⊆ 𝐴 ) |
6 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → 𝐴 ≠ ∅ ) |
7 |
|
tz6.26 |
⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ ) |
8 |
3 4 5 6 7
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ ) |
9 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
10 |
9
|
elpred |
⊢ ( 𝑥 ∈ V → ( 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ) |
11 |
10
|
elv |
⊢ ( 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
12 |
11
|
notbii |
⊢ ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) ↔ ¬ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
13 |
|
imnan |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ↔ ¬ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
14 |
12 13
|
bitr4i |
⊢ ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
15 |
|
pm2.27 |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
16 |
15
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
17 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( 𝑧 𝑅 𝑦 ↔ 𝑥 𝑅 𝑦 ) ) |
18 |
17
|
rspcev |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) |
19 |
18
|
ex |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) |
20 |
19
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) |
21 |
16 20
|
jctird |
⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) |
22 |
14 21
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) → ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) |
23 |
22
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) ) |
24 |
23
|
com23 |
⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) ) |
25 |
24
|
alimdv |
⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ∀ 𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) → ∀ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) ) |
26 |
|
eq0 |
⊢ ( Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ ↔ ∀ 𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) ) |
27 |
|
r19.26 |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) |
28 |
|
df-ral |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) |
29 |
27 28
|
bitr3i |
⊢ ( ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) |
30 |
25 26 29
|
3imtr4g |
⊢ ( ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) |
31 |
30
|
reximdva |
⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑥 ) = ∅ → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) ) |
32 |
8 31
|
mpd |
⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) |
33 |
2 32
|
infcl |
⊢ ( ( 𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → inf ( 𝐴 , 𝐴 , 𝑅 ) ∈ 𝐴 ) |