Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
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xpsle.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑅 ×s 𝑆 ) |
2 |
|
xpsle.x |
⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
xpsle.y |
⊢ 𝑌 = ( Base ‘ 𝑆 ) |
4 |
|
xpsle.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉 ) |
5 |
|
xpsle.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊 ) |
6 |
|
xpsle.p |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝑇 ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) |
8 |
|
eqid |
⊢ ( Scalar ‘ 𝑅 ) = ( Scalar ‘ 𝑅 ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( ( Scalar ‘ 𝑅 ) Xs { 〈 ∅ , 𝑅 〉 , 〈 1o , 𝑆 〉 } ) = ( ( Scalar ‘ 𝑅 ) Xs { 〈 ∅ , 𝑅 〉 , 〈 1o , 𝑆 〉 } ) |
10 |
1 2 3 4 5 7 8 9
|
xpsval |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 = ( ◡ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) “s ( ( Scalar ‘ 𝑅 ) Xs { 〈 ∅ , 𝑅 〉 , 〈 1o , 𝑆 〉 } ) ) ) |
11 |
1 2 3 4 5 7 8 9
|
xpsrnbas |
⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) = ( Base ‘ ( ( Scalar ‘ 𝑅 ) Xs { 〈 ∅ , 𝑅 〉 , 〈 1o , 𝑆 〉 } ) ) ) |
12 |
7
|
xpsff1o2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) : ( 𝑋 × 𝑌 ) –1-1-onto→ ran ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) |
13 |
|
f1ocnv |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) : ( 𝑋 × 𝑌 ) –1-1-onto→ ran ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) → ◡ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) : ran ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) –1-1-onto→ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) |
14 |
12 13
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ◡ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) : ran ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) –1-1-onto→ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) |
15 |
|
f1ofo |
⊢ ( ◡ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) : ran ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) –1-1-onto→ ( 𝑋 × 𝑌 ) → ◡ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) : ran ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) –onto→ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) |
16 |
14 15
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ◡ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) : ran ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 , 〈 1o , 𝑦 〉 } ) –onto→ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) |
17 |
|
ovexd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( Scalar ‘ 𝑅 ) Xs { 〈 ∅ , 𝑅 〉 , 〈 1o , 𝑆 〉 } ) ∈ V ) |
18 |
10 11 16 17 6
|
imasless |
⊢ ( 𝜑 → ≤ ⊆ ( ( 𝑋 × 𝑌 ) × ( 𝑋 × 𝑌 ) ) ) |