Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xpsle.t |
|- T = ( R Xs. S ) |
2 |
|
xpsle.x |
|- X = ( Base ` R ) |
3 |
|
xpsle.y |
|- Y = ( Base ` S ) |
4 |
|
xpsle.1 |
|- ( ph -> R e. V ) |
5 |
|
xpsle.2 |
|- ( ph -> S e. W ) |
6 |
|
xpsle.p |
|- .<_ = ( le ` T ) |
7 |
|
eqid |
|- ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) = ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) |
8 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` R ) = ( Scalar ` R ) |
9 |
|
eqid |
|- ( ( Scalar ` R ) Xs_ { <. (/) , R >. , <. 1o , S >. } ) = ( ( Scalar ` R ) Xs_ { <. (/) , R >. , <. 1o , S >. } ) |
10 |
1 2 3 4 5 7 8 9
|
xpsval |
|- ( ph -> T = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) "s ( ( Scalar ` R ) Xs_ { <. (/) , R >. , <. 1o , S >. } ) ) ) |
11 |
1 2 3 4 5 7 8 9
|
xpsrnbas |
|- ( ph -> ran ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) = ( Base ` ( ( Scalar ` R ) Xs_ { <. (/) , R >. , <. 1o , S >. } ) ) ) |
12 |
7
|
xpsff1o2 |
|- ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) |
13 |
|
f1ocnv |
|- ( ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) -1-1-onto-> ( X X. Y ) ) |
14 |
12 13
|
mp1i |
|- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) -1-1-onto-> ( X X. Y ) ) |
15 |
|
f1ofo |
|- ( `' ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) -1-1-onto-> ( X X. Y ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) -onto-> ( X X. Y ) ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) -onto-> ( X X. Y ) ) |
17 |
|
ovexd |
|- ( ph -> ( ( Scalar ` R ) Xs_ { <. (/) , R >. , <. 1o , S >. } ) e. _V ) |
18 |
10 11 16 17 6
|
imasless |
|- ( ph -> .<_ C_ ( ( X X. Y ) X. ( X X. Y ) ) ) |