Theorem 2arymaptf1o

Description: The mapping of binary (endo)functions is a one-to-one function onto the set of binary operations (Contributed by AV, 23-May-2024)

	Ref	Expression
Hypothesis	2arymaptf.h	|- H = ( h e. ( 2 -aryF X ) |-> ( x e. X , y e. X |-> ( h ` { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. } ) ) )
Assertion	2arymaptf1o	|- ( X e. V -> H : ( 2 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arymaptf.h	|- H = ( h e. ( 2 -aryF X ) |-> ( x e. X , y e. X |-> ( h ` { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. } ) ) )
2	1	2arymaptf1	|- ( X e. V -> H : ( 2 -aryF X ) -1-1-> ( X ^m ( X X. X ) ) )
3	1	2arymaptfo	|- ( X e. V -> H : ( 2 -aryF X ) -onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) )
4		df-f1o	|- ( H : ( 2 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) <-> ( H : ( 2 -aryF X ) -1-1-> ( X ^m ( X X. X ) ) /\ H : ( 2 -aryF X ) -onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) ) )
5	2 3 4	sylanbrc	|- ( X e. V -> H : ( 2 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) )