Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ovex |
|- ( 2 -aryF X ) e. _V |
2 |
1
|
mptex |
|- ( f e. ( 2 -aryF X ) |-> ( x e. X , y e. X |-> ( f ` { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. } ) ) ) e. _V |
3 |
2
|
a1i |
|- ( X e. _V -> ( f e. ( 2 -aryF X ) |-> ( x e. X , y e. X |-> ( f ` { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. } ) ) ) e. _V ) |
4 |
|
eqid |
|- ( f e. ( 2 -aryF X ) |-> ( x e. X , y e. X |-> ( f ` { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. } ) ) ) = ( f e. ( 2 -aryF X ) |-> ( x e. X , y e. X |-> ( f ` { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. } ) ) ) |
5 |
4
|
2arymaptf1o |
|- ( X e. _V -> ( f e. ( 2 -aryF X ) |-> ( x e. X , y e. X |-> ( f ` { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. } ) ) ) : ( 2 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) ) |
6 |
|
f1oeq1 |
|- ( h = ( f e. ( 2 -aryF X ) |-> ( x e. X , y e. X |-> ( f ` { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. } ) ) ) -> ( h : ( 2 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) <-> ( f e. ( 2 -aryF X ) |-> ( x e. X , y e. X |-> ( f ` { <. 0 , x >. , <. 1 , y >. } ) ) ) : ( 2 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) ) ) |
7 |
3 5 6
|
spcedv |
|- ( X e. _V -> E. h h : ( 2 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) ) |
8 |
|
bren |
|- ( ( 2 -aryF X ) ~~ ( X ^m ( X X. X ) ) <-> E. h h : ( 2 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m ( X X. X ) ) ) |
9 |
7 8
|
sylibr |
|- ( X e. _V -> ( 2 -aryF X ) ~~ ( X ^m ( X X. X ) ) ) |
10 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
11 |
10
|
enref |
|- (/) ~~ (/) |
12 |
11
|
a1i |
|- ( -. X e. _V -> (/) ~~ (/) ) |
13 |
|
df-naryf |
|- -aryF = ( n e. NN0 , x e. _V |-> ( x ^m ( x ^m ( 0 ..^ n ) ) ) ) |
14 |
13
|
reldmmpo |
|- Rel dom -aryF |
15 |
14
|
ovprc2 |
|- ( -. X e. _V -> ( 2 -aryF X ) = (/) ) |
16 |
|
reldmmap |
|- Rel dom ^m |
17 |
16
|
ovprc1 |
|- ( -. X e. _V -> ( X ^m ( X X. X ) ) = (/) ) |
18 |
12 15 17
|
3brtr4d |
|- ( -. X e. _V -> ( 2 -aryF X ) ~~ ( X ^m ( X X. X ) ) ) |
19 |
9 18
|
pm2.61i |
|- ( 2 -aryF X ) ~~ ( X ^m ( X X. X ) ) |