Theorem 2euswapv

Description: A condition allowing to swap an existential quantifier and a unique existential quantifier. Version of 2euswap with a disjoint variable condition, which does not require ax-13 . (Contributed by NM, 10-Apr-2004) (Revised by Gino Giotto, 22-Aug-2023)

	Ref	Expression
Assertion	2euswapv	|- ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excomim	|- ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph )
2	1	a1i	|- ( A. x E* y ph -> ( E. x E. y ph -> E. y E. x ph ) )
3		2moswapv	|- ( A. x E* y ph -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) )
4	2 3	anim12d	|- ( A. x E* y ph -> ( ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) -> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) ) )
5		df-eu	|- ( E! x E. y ph <-> ( E. x E. y ph /\ E* x E. y ph ) )
6		df-eu	|- ( E! y E. x ph <-> ( E. y E. x ph /\ E* y E. x ph ) )
7	4 5 6	3imtr4g	|- ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) )