Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2lnne.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
2lnne.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
2lnne.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
simp1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL ) |
5 |
|
simp21 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A ) |
6 |
|
simp23 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R e. A ) |
7 |
|
simp21 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= Q ) -> P e. A ) |
8 |
|
simp23 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= Q ) -> R e. A ) |
9 |
|
simp22 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= Q ) -> Q e. A ) |
10 |
7 8 9
|
3jca |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= Q ) -> ( P e. A /\ R e. A /\ Q e. A ) ) |
11 |
1 2 3
|
hlatexch2 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ R e. A /\ Q e. A ) /\ P =/= Q ) -> ( P .<_ ( R .\/ Q ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
12 |
10 11
|
syld3an2 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= Q ) -> ( P .<_ ( R .\/ Q ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
13 |
12
|
con3d |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ P =/= Q ) -> ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) -> -. P .<_ ( R .\/ Q ) ) ) |
14 |
13
|
3exp |
|- ( K e. HL -> ( ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) -> ( P =/= Q -> ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) -> -. P .<_ ( R .\/ Q ) ) ) ) ) |
15 |
14
|
imp4a |
|- ( K e. HL -> ( ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) -> ( ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> -. P .<_ ( R .\/ Q ) ) ) ) |
16 |
15
|
3imp |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. P .<_ ( R .\/ Q ) ) |
17 |
1 2 3
|
2llnne2N |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( R .\/ Q ) ) -> ( R .\/ P ) =/= ( R .\/ Q ) ) |
18 |
4 5 6 16 17
|
syl121anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .\/ P ) =/= ( R .\/ Q ) ) |