Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
abs2dif |
|- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` B ) - ( abs ` A ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) ) |
2 |
1
|
ancoms |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) - ( abs ` A ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) ) |
3 |
|
abscl |
|- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR ) |
4 |
3
|
recnd |
|- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. CC ) |
5 |
|
abscl |
|- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR ) |
6 |
5
|
recnd |
|- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. CC ) |
7 |
|
negsubdi2 |
|- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` B ) e. CC ) -> -u ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) = ( ( abs ` B ) - ( abs ` A ) ) ) |
8 |
4 6 7
|
syl2an |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) = ( ( abs ` B ) - ( abs ` A ) ) ) |
9 |
|
abssub |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) ) |
10 |
2 8 9
|
3brtr4d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) |
11 |
|
abs2dif |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) |
12 |
|
resubcl |
|- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ ( abs ` B ) e. RR ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) e. RR ) |
13 |
3 5 12
|
syl2an |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) e. RR ) |
14 |
|
subcl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC ) |
15 |
|
abscl |
|- ( ( A - B ) e. CC -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) |
17 |
|
absle |
|- ( ( ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> ( -u ( abs ` ( A - B ) ) <_ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) /\ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) ) ) |
18 |
13 16 17
|
syl2anc |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> ( -u ( abs ` ( A - B ) ) <_ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) /\ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) ) ) |
19 |
|
lenegcon1 |
|- ( ( ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) -> ( -u ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> -u ( abs ` ( A - B ) ) <_ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) ) ) |
20 |
13 16 19
|
syl2anc |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> -u ( abs ` ( A - B ) ) <_ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) ) ) |
21 |
20
|
anbi1d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( -u ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) /\ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) <-> ( -u ( abs ` ( A - B ) ) <_ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) /\ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) ) ) |
22 |
18 21
|
bitr4d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) <-> ( -u ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) /\ ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) ) ) |
23 |
10 11 22
|
mpbir2and |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) - ( abs ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) ) |