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Theorem axextdist

Description: ax-ext with distinctors instead of distinct variable conditions. (Contributed by Scott Fenton, 13-Dec-2010)

Ref Expression
Assertion axextdist
|- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( A. z ( z e. x <-> z e. y ) -> x = y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nfnae
 |-  F/ z -. A. z z = x
2 nfnae
 |-  F/ z -. A. z z = y
3 1 2 nfan
 |-  F/ z ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y )
4 nfcvf
 |-  ( -. A. z z = x -> F/_ z x )
5 4 adantr
 |-  ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/_ z x )
6 5 nfcrd
 |-  ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z w e. x )
7 nfcvf
 |-  ( -. A. z z = y -> F/_ z y )
8 7 adantl
 |-  ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/_ z y )
9 8 nfcrd
 |-  ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z w e. y )
10 6 9 nfbid
 |-  ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z ( w e. x <-> w e. y ) )
11 elequ1
 |-  ( w = z -> ( w e. x <-> z e. x ) )
12 elequ1
 |-  ( w = z -> ( w e. y <-> z e. y ) )
13 11 12 bibi12d
 |-  ( w = z -> ( ( w e. x <-> w e. y ) <-> ( z e. x <-> z e. y ) ) )
14 13 a1i
 |-  ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( w = z -> ( ( w e. x <-> w e. y ) <-> ( z e. x <-> z e. y ) ) ) )
15 3 10 14 cbvald
 |-  ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( A. w ( w e. x <-> w e. y ) <-> A. z ( z e. x <-> z e. y ) ) )
16 axextg
 |-  ( A. w ( w e. x <-> w e. y ) -> x = y )
17 15 16 syl6bir
 |-  ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( A. z ( z e. x <-> z e. y ) -> x = y ) )