Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nfnae |
|- F/ z -. A. z z = x |
2 |
|
nfnae |
|- F/ z -. A. z z = y |
3 |
1 2
|
nfan |
|- F/ z ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) |
4 |
|
nfcvf |
|- ( -. A. z z = x -> F/_ z x ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/_ z x ) |
6 |
5
|
nfcrd |
|- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z w e. x ) |
7 |
|
nfcvf |
|- ( -. A. z z = y -> F/_ z y ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/_ z y ) |
9 |
8
|
nfcrd |
|- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z w e. y ) |
10 |
6 9
|
nfbid |
|- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z ( w e. x <-> w e. y ) ) |
11 |
|
elequ1 |
|- ( w = z -> ( w e. x <-> z e. x ) ) |
12 |
|
elequ1 |
|- ( w = z -> ( w e. y <-> z e. y ) ) |
13 |
11 12
|
bibi12d |
|- ( w = z -> ( ( w e. x <-> w e. y ) <-> ( z e. x <-> z e. y ) ) ) |
14 |
13
|
a1i |
|- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( w = z -> ( ( w e. x <-> w e. y ) <-> ( z e. x <-> z e. y ) ) ) ) |
15 |
3 10 14
|
cbvald |
|- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( A. w ( w e. x <-> w e. y ) <-> A. z ( z e. x <-> z e. y ) ) ) |
16 |
|
axextg |
|- ( A. w ( w e. x <-> w e. y ) -> x = y ) |
17 |
15 16
|
syl6bir |
|- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( A. z ( z e. x <-> z e. y ) -> x = y ) ) |