Theorem bj-hbaeb2

Description: Biconditional version of a form of hbae with commuted quantifiers, not requiring ax-11 . (Contributed by BJ, 12-Dec-2019) (Proof modification is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	bj-hbaeb2	|- ( A. x x = y <-> A. x A. z x = y )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sp	|- ( A. x x = y -> x = y )
2		axc9	|- ( -. A. z z = x -> ( -. A. z z = y -> ( x = y -> A. z x = y ) ) )
3	1 2	syl7	|- ( -. A. z z = x -> ( -. A. z z = y -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) ) )
4		axc11r	|- ( A. z z = x -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
5		axc11	|- ( A. x x = y -> ( A. x x = y -> A. y x = y ) )
6	5	pm2.43i	|- ( A. x x = y -> A. y x = y )
7		axc11r	|- ( A. z z = y -> ( A. y x = y -> A. z x = y ) )
8	6 7	syl5	|- ( A. z z = y -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
9	3 4 8	pm2.61ii	|- ( A. x x = y -> A. z x = y )
10	9	axc4i	|- ( A. x x = y -> A. x A. z x = y )
11		sp	|- ( A. z x = y -> x = y )
12	11	alimi	|- ( A. x A. z x = y -> A. x x = y )
13	10 12	impbii	|- ( A. x x = y <-> A. x A. z x = y )