Metamath Proof Explorer

Theorem bj-sbnf

Description: Move nonfree predicate in and out of substitution; see sbal and sbex . (Contributed by BJ, 2-May-2019)

Ref Expression
Assertion bj-sbnf 
|- ( [ z / y ] F/ x ph <-> F/ x [ z / y ] ph )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sbim 
 |-  ( [ z / y ] ( ph -> A. x ph ) <-> ( [ z / y ] ph -> [ z / y ] A. x ph ) )
2 sbal 
 |-  ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph )
3 2 imbi2i 
 |-  ( ( [ z / y ] ph -> [ z / y ] A. x ph ) <-> ( [ z / y ] ph -> A. x [ z / y ] ph ) )
4 1 3 bitri 
 |-  ( [ z / y ] ( ph -> A. x ph ) <-> ( [ z / y ] ph -> A. x [ z / y ] ph ) )
5 4 albii 
 |-  ( A. x [ z / y ] ( ph -> A. x ph ) <-> A. x ( [ z / y ] ph -> A. x [ z / y ] ph ) )
6 nf5 
 |-  ( F/ x ph <-> A. x ( ph -> A. x ph ) )
7 6 sbbii 
 |-  ( [ z / y ] F/ x ph <-> [ z / y ] A. x ( ph -> A. x ph ) )
8 sbal 
 |-  ( [ z / y ] A. x ( ph -> A. x ph ) <-> A. x [ z / y ] ( ph -> A. x ph ) )
9 7 8 bitri 
 |-  ( [ z / y ] F/ x ph <-> A. x [ z / y ] ( ph -> A. x ph ) )
10 nf5 
 |-  ( F/ x [ z / y ] ph <-> A. x ( [ z / y ] ph -> A. x [ z / y ] ph ) )
11 5 9 10 3bitr4i 
 |-  ( [ z / y ] F/ x ph <-> F/ x [ z / y ] ph )