Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bnj23.1 |
|- B = { x e. A | -. ph } |
2 |
|
sbcng |
|- ( w e. _V -> ( [. w / x ]. -. ph <-> -. [. w / x ]. ph ) ) |
3 |
2
|
elv |
|- ( [. w / x ]. -. ph <-> -. [. w / x ]. ph ) |
4 |
1
|
eleq2i |
|- ( w e. B <-> w e. { x e. A | -. ph } ) |
5 |
|
nfcv |
|- F/_ x A |
6 |
5
|
elrabsf |
|- ( w e. { x e. A | -. ph } <-> ( w e. A /\ [. w / x ]. -. ph ) ) |
7 |
4 6
|
bitri |
|- ( w e. B <-> ( w e. A /\ [. w / x ]. -. ph ) ) |
8 |
|
breq1 |
|- ( z = w -> ( z R y <-> w R y ) ) |
9 |
8
|
notbid |
|- ( z = w -> ( -. z R y <-> -. w R y ) ) |
10 |
9
|
rspccv |
|- ( A. z e. B -. z R y -> ( w e. B -> -. w R y ) ) |
11 |
7 10
|
syl5bir |
|- ( A. z e. B -. z R y -> ( ( w e. A /\ [. w / x ]. -. ph ) -> -. w R y ) ) |
12 |
11
|
expdimp |
|- ( ( A. z e. B -. z R y /\ w e. A ) -> ( [. w / x ]. -. ph -> -. w R y ) ) |
13 |
3 12
|
syl5bir |
|- ( ( A. z e. B -. z R y /\ w e. A ) -> ( -. [. w / x ]. ph -> -. w R y ) ) |
14 |
13
|
con4d |
|- ( ( A. z e. B -. z R y /\ w e. A ) -> ( w R y -> [. w / x ]. ph ) ) |
15 |
14
|
ralrimiva |
|- ( A. z e. B -. z R y -> A. w e. A ( w R y -> [. w / x ]. ph ) ) |