Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bnj539.1 |
|- ( ps <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
2 |
|
bnj539.2 |
|- ( ps' <-> [. M / n ]. ps ) |
3 |
|
bnj539.3 |
|- M e. _V |
4 |
1
|
sbcbii |
|- ( [. M / n ]. ps <-> [. M / n ]. A. i e. _om ( suc i e. n -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
5 |
3
|
bnj538 |
|- ( [. M / n ]. A. i e. _om ( suc i e. n -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. _om [. M / n ]. ( suc i e. n -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
6 |
|
sbcimg |
|- ( M e. _V -> ( [. M / n ]. ( suc i e. n -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> ( [. M / n ]. suc i e. n -> [. M / n ]. ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) ) |
7 |
3 6
|
ax-mp |
|- ( [. M / n ]. ( suc i e. n -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> ( [. M / n ]. suc i e. n -> [. M / n ]. ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
8 |
|
sbcel2gv |
|- ( M e. _V -> ( [. M / n ]. suc i e. n <-> suc i e. M ) ) |
9 |
3 8
|
ax-mp |
|- ( [. M / n ]. suc i e. n <-> suc i e. M ) |
10 |
3
|
bnj525 |
|- ( [. M / n ]. ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) <-> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) |
11 |
9 10
|
imbi12i |
|- ( ( [. M / n ]. suc i e. n -> [. M / n ]. ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. M -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
12 |
7 11
|
bitri |
|- ( [. M / n ]. ( suc i e. n -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. M -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
13 |
12
|
ralbii |
|- ( A. i e. _om [. M / n ]. ( suc i e. n -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. _om ( suc i e. M -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
14 |
5 13
|
bitri |
|- ( [. M / n ]. A. i e. _om ( suc i e. n -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. _om ( suc i e. M -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
15 |
4 14
|
bitri |
|- ( [. M / n ]. ps <-> A. i e. _om ( suc i e. M -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
16 |
2 15
|
bitri |
|- ( ps' <-> A. i e. _om ( suc i e. M -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |