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Theorem cbvitgvw2

Description: Change bound variable and domain in an integral, using implicit substitution. (Contributed by GG, 14-Aug-2025)

Ref Expression
Hypotheses cbvitgvw2.1 
|- ( x = y -> C = D )
cbvitgvw2.2 
|- ( x = y -> A = B )
Assertion cbvitgvw2 
|- S. A C _d x = S. B D _d y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cbvitgvw2.1 
 |-  ( x = y -> C = D )
2 cbvitgvw2.2 
 |-  ( x = y -> A = B )
3 1 fvoveq1d 
 |-  ( x = y -> ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) = ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) )
4 id 
 |-  ( x = y -> x = y )
5 4 2 eleq12d 
 |-  ( x = y -> ( x e. A <-> y e. B ) )
6 5 anbi1d 
 |-  ( x = y -> ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) <-> ( y e. B /\ 0 <_ v ) ) )
7 6 ifbid 
 |-  ( x = y -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) = if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) )
8 3 7 csbeq12dv 
 |-  ( x = y -> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) = [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) )
9 8 cbvmptv 
 |-  ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) = ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) )
10 9 fveq2i 
 |-  ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) )
11 10 oveq2i 
 |-  ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) )
12 11 sumeq2si 
 |-  sum_ t e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) = sum_ t e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) )
13 df-itg 
 |-  S. A C _d x = sum_ t e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) )
14 df-itg 
 |-  S. B D _d y = sum_ t e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ t ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( D / ( _i ^ t ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. B /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) )
15 12 13 14 3eqtr4i 
 |-  S. A C _d x = S. B D _d y