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Theorem sumeq2si

Description: Equality inference for sum. (Contributed by GG, 1-Sep-2025)

Ref Expression
Hypothesis sumeq2si.1 
|- B = C
Assertion sumeq2si 
|- sum_ k e. A B = sum_ k e. A C

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sumeq2si.1 
 |-  B = C
2 1 csbeq2i 
 |-  [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C
3 ifeq1 
 |-  ( [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
4 2 3 ax-mp 
 |-  if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 )
5 4 mpteq2i 
 |-  ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
6 seqeq3 
 |-  ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
7 5 6 ax-mp 
 |-  seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
8 7 breq1i 
 |-  ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x )
9 8 anbi2i 
 |-  ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
10 9 rexbii 
 |-  ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
11 1 csbeq2i 
 |-  [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
12 11 mpteq2i 
 |-  ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
13 seqeq3 
 |-  ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) )
14 12 13 ax-mp 
 |-  seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
15 14 fveq1i 
 |-  ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m )
16 15 eqeq2i 
 |-  ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
17 16 anbi2i 
 |-  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
18 17 exbii 
 |-  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
19 18 rexbii 
 |-  ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
20 10 19 orbi12i 
 |-  ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
21 20 iotabii 
 |-  ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
22 df-sum 
 |-  sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
23 df-sum 
 |-  sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
24 21 22 23 3eqtr4i 
 |-  sum_ k e. A B = sum_ k e. A C