Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme21.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme21.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme21.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme21.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme21.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme21.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme21.f |
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
8 |
|
cdleme21g.g |
|- G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdleme21g.d |
|- D = ( ( R .\/ S ) ./\ W ) |
10 |
|
cdleme21g.y |
|- Y = ( ( R .\/ T ) ./\ W ) |
11 |
|
cdleme21g.n |
|- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ D ) ) |
12 |
|
cdleme21g.o |
|- O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ Y ) ) |
13 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
14 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
15 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
16 |
|
simp21l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> S e. A ) |
17 |
14 15 16
|
3jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ S e. A ) ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) -> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ S e. A ) ) |
19 |
|
simp231 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> P =/= Q ) |
20 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) -> P =/= Q ) |
21 |
|
simp232 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
23 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) -> E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) |
24 |
1 2 4 5
|
4atexlem7 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ S e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( P .\/ z ) = ( S .\/ z ) ) ) |
25 |
13 18 20 22 23 24
|
syl113anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( P .\/ z ) = ( S .\/ z ) ) ) |
26 |
25
|
ex |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( P .\/ z ) = ( S .\/ z ) ) ) ) |
27 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
cdleme21h |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( P .\/ z ) = ( S .\/ z ) ) -> N = O ) ) |
28 |
26 27
|
syld |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) -> N = O ) ) |