Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemef50.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemef50.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemef50.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemef50.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemef50.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemef50.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemef50.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
8 |
|
cdlemef50.d |
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdlemefs50.e |
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
10 |
|
cdlemef50.f |
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) ) |
11 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cdleme50f |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B --> B ) |
12 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cdleme50eq |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) ) -> ( ( F ` d ) = ( F ` e ) <-> d = e ) ) |
13 |
12
|
biimpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) ) -> ( ( F ` d ) = ( F ` e ) -> d = e ) ) |
14 |
13
|
ralrimivva |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> A. d e. B A. e e. B ( ( F ` d ) = ( F ` e ) -> d = e ) ) |
15 |
|
dff13 |
|- ( F : B -1-1-> B <-> ( F : B --> B /\ A. d e. B A. e e. B ( ( F ` d ) = ( F ` e ) -> d = e ) ) ) |
16 |
11 14 15
|
sylanbrc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-> B ) |