Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemef50.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemef50.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemef50.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemef50.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemef50.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemef50.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemef50.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
8 |
|
cdlemef50.d |
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdlemefs50.e |
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
10 |
|
cdlemef50.f |
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) ) |
11 |
|
cdlemef50.v |
|- V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W ) |
12 |
|
cdlemef50.n |
|- N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) ) |
13 |
|
cdlemefs50.o |
|- O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) ) |
14 |
|
cdlemef50.g |
|- G = ( a e. B |-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) ) |
15 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cdleme50f |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B --> B ) |
16 |
15
|
frnd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ran F C_ B ) |
17 |
1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
|
cdlemeg46fvcl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> ( G ` e ) e. B ) |
18 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
cdleme48fgv |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> ( F ` ( G ` e ) ) = e ) |
19 |
|
fveqeq2 |
|- ( d = ( G ` e ) -> ( ( F ` d ) = e <-> ( F ` ( G ` e ) ) = e ) ) |
20 |
19
|
rspcev |
|- ( ( ( G ` e ) e. B /\ ( F ` ( G ` e ) ) = e ) -> E. d e. B ( F ` d ) = e ) |
21 |
17 18 20
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> E. d e. B ( F ` d ) = e ) |
22 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> F : B --> B ) |
23 |
|
ffn |
|- ( F : B --> B -> F Fn B ) |
24 |
|
fvelrnb |
|- ( F Fn B -> ( e e. ran F <-> E. d e. B ( F ` d ) = e ) ) |
25 |
22 23 24
|
3syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> ( e e. ran F <-> E. d e. B ( F ` d ) = e ) ) |
26 |
21 25
|
mpbird |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> e e. ran F ) |
27 |
16 26
|
eqelssd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ran F = B ) |