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Theorem cdlemg2kq

Description: cdlemg2k with P and Q swapped. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 15-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg2inv.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg2inv.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg2j.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg2j.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg2j.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg2j.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg2j.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
Assertion cdlemg2kq 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) = ( ( F ` Q ) .\/ U ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg2inv.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 cdlemg2inv.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 cdlemg2j.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
4 cdlemg2j.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
5 cdlemg2j.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemg2j.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
7 cdlemg2j.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
10 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
11 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> F e. T )
12 eqid 
 |-  ( ( Q .\/ P ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ P ) ./\ W )
13 1 2 3 4 5 6 12 cdlemg2k 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( F ` Q ) .\/ ( F ` P ) ) = ( ( F ` Q ) .\/ ( ( Q .\/ P ) ./\ W ) ) )
14 8 9 10 11 13 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( F ` Q ) .\/ ( F ` P ) ) = ( ( F ` Q ) .\/ ( ( Q .\/ P ) ./\ W ) ) )
15 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> K e. HL )
16 simp2ll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> P e. A )
17 3 5 1 2 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. A ) -> ( F ` P ) e. A )
18 8 11 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( F ` P ) e. A )
19 simp2rl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> Q e. A )
20 3 5 1 2 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ Q e. A ) -> ( F ` Q ) e. A )
21 8 11 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( F ` Q ) e. A )
22 4 5 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F ` P ) e. A /\ ( F ` Q ) e. A ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) = ( ( F ` Q ) .\/ ( F ` P ) ) )
23 15 18 21 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) = ( ( F ` Q ) .\/ ( F ` P ) ) )
24 4 5 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
25 15 16 19 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
26 25 oveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ P ) ./\ W ) )
27 7 26 syl5eq 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> U = ( ( Q .\/ P ) ./\ W ) )
28 27 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( F ` Q ) .\/ U ) = ( ( F ` Q ) .\/ ( ( Q .\/ P ) ./\ W ) ) )
29 14 23 28 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( F ` Q ) ) = ( ( F ` Q ) .\/ U ) )