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Theorem cdlemg6

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 27-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg6.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg6.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg6.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg6.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdlemg6 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg6.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg6.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
3 cdlemg6.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 cdlemg6.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6 simpl2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
7 simpl2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
8 simpl31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> F e. T )
9 simpl32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> G e. T )
10 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) )
11 simpl33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = P )
12 eqid 
 |-  ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
13 eqid 
 |-  ( join ` K ) = ( join ` K )
14 eqid 
 |-  ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) = ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G )
15 1 2 3 4 12 13 14 cdlemg6e 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )
16 5 6 7 8 9 10 11 15 syl133anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )
17 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
18 simpl2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
19 simpl2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
20 simpl31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> F e. T )
21 simpl32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> G e. T )
22 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) )
23 simpl33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = P )
24 1 2 3 4 12 13 14 cdlemg4 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )
25 17 18 19 20 21 22 23 24 syl133anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. Q .<_ ( P ( join ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` G ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )
26 16 25 pm2.61dan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )